Аннотация

Исследовательская работа посвящена обнаружению взаимосвязи математики и окружающего мира, а именно геометрии и зрения. В ней рассматриваются особенности зрительного восприятия, используются понятия угла зрения, оптического центра глаза, углового размера. Показано практическое применение геометрических знаний для объяснения явлений и процессов окружающего мира.

Содержание

Введение                                                                                                           4

Глава 1 Зрительное восприятие через геометрию                                          6

Глава 2 Особенности зрительного восприятия                                             11

Глава 3 Применение геометрических знаний в окружающем мире            13

Заключение                                                                                                     15

Терминологический словарь                                                                         16

Список литературы                                                                                        17

Введение

Геометрия – раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения.

Исторически геометрию считали божественной наукой, поскольку она изучает чистые, абсолютные формы. Ее называли наукой о душе, ибо она исследует сферу идеального.

По китайской символической традиции небо считалось круглым, а земля квадратной. Квадратным являлось и убежище праведников в иранской мифологии — Вара. В основе исламской храмовой архитектуры лежала идея квадрата. Круг служил обозначением космического пространства. Границы круга отделяли космос от хаоса. Вместе с тем круг символизировал бесконечность, и его животным олицетворением служил свернувшийся кольцом или кусающий себе хвост мировой змей. Круг есть плоскостная проекция солнца. Крест символизирует четыре стороны света. Перекресток — место особого энергетического напряжения.

Треугольник символизировал плодородие, брак, троичность мироздания.

Ле Корбюзье принадлежит высказывание «Окружающий нас мир – это мир геометрии, чистой, истинной, безупречной в наших глазах. Все вокруг – геометрия»

Актуальность исследования обусловлена стремлением углублять знания об окружающим мире через применение положений естественных наук.

Цель работы: обнаружить взаимосвязь математики с окружающим миром, а именно геометрии и зрения.

Задачи:

1. Показать зрительное восприятие через геометрию
2. Рассмотреть особенности зрительного восприятия
3. Показать практическое применение геометрических знаний в окружающем мире

Объект исследования: природные явления и зрительные иллюзии.

Предмет исследования: особенности зрительного восприятия.

Гипотеза: если изучить особенности зрительного восприятия и овладеть ими, то возникает объективная возможность объяснить многие наблюдаемые невооруженным глазом явления и зрительные иллюзии, а также решать задачи, связанные с углом зрения.

Глава 1 Зрительное восприятие через геометрию

При описании свойств математических объек­тов встречается понятие угла зрения.

В наше поле зрения по­падает множество предметов. К каждому предме­ту от глаза можно провести бесконечное число лучей зрения. Любые два из них образуют некоторый угол. Каждый из таких углов и есть угол зрения.

Угол зрения, под которым виден весь предмет, называется угловым размером предмета.

Угловые размеры различных объектов на мест­ности необходимо определять топографам, состав­ляющим ее карту. Для решения этой задачи они используют специальные оптические приборы.

Понятие угла зрения важно в астроно­мии. Знание углового размера (астрономы гово­рят углового диаметра или видимого диаметра) небесного тела позволяет вычислить его линей­ные размеры. Вследствие огромной удаленности космических объектов угловые диаметры планет и звезд очень малы и измеряются в угловых ми­нутах   (')   и секундах  (").

Углов зрения, под которыми виден данный предмет, может быть бесконечно много, так как имеется бесчисленное число точек наблюдения — вершин таких углов. Иначе говоря, угловой раз­мер предмета зависит от выбранной точки наблю­дения

 Угловой размер — величина непостоянная. Она зависит от размеров предмета и расстояния от гла­за до предмета.

Один и тот же пред­мет мы можем видеть под различными углами зре­ния. И наоборот: видеть предметы, имеющие разные ли­нейные размеры, под одним и тем же углом зрения. Такие предметы имеют одинаковый угловой размер.

Например, линейные размеры Солн­ца значительно превышают размеры Луны, а угло­вые диаметры у этих космических тел почти не отличаются. Видимый диаметр Луны равен при­мерно   31<sup>`</sup>05``   а Солнца – 31`59``.

Для земного наблюдателя во время полного сол­нечного затмения Луна полностью заслоняет Солнце, т.е. они оказываются видны под одним и тем же углом зрения, Это уникальное явление было бы невозможно, если бы размеры тел, а так­же расстояния от них до Земли не состояли в определенной зависимости. Для ее определения проделаем эксперимент. Возьмем два шара различного диаметра, напри­мер теннисный мячик и шарик для игры в пинг-понг. Закроем один глаз и будем держать шары в руках, так, чтобы меньший шар точно закрывал больший, тогда оба шара будут видны нам под одним уг­лом зрения. Для обнаружения зависимости между диаметрами шаров и расстоянием от шаров до глаза проделаем ряд вычислений. Для их простоты будем считать, что центр нашего глаза и центры шаров находятся на одной прямой. Представим себе, что проведена некоторая плоскость через наш глаз (центр ко­торого совпадает с точкой О) и центры О₁ и О₂ шаров на рисунке. Выберем диаметры кругов — отрезки АВ и СК так, чтобы АВ \\ СК.

Введем определенные обозначения:AB=d, CK=D, OО₁=l и OО₂₌L. По условию d < D, l < L, .

Треугольники ОАО₁ и ОСО₂ подобны по двум углам (угол О — общий,  как соответ­ственные углы при параллельных прямых АВ и СК и секущей   ОС).   Из подобия треугольников следует, что , или . Это означает, что диаметр D во столько же раз боль­ше диаметра d, во сколько раз расстояние L больше расстояния l. Только при таком условии шары видны под одним и тем же углом зрения. Заметим, что рассмотренные круги являются центрально-подобными фигурами. Точке А со­поставлена точка С так, что А и С лежат на луче с началом в некоторой точке О, причем   ОС =kОА,   где .   Очевидно, что любой точке М меньшего круга можно сопоста­вить точку М₁ плоскости так, что точки М и М₁  будут лежать на луче с началом в фиксированной точке О,  причем  ОМ₁ = kОМ.  Если   ,   то точка  М₁  принадлежит большему кругу.

Убедимся на примере. Расстояние L от Земли до Солнца составляет при­близительно   150 000 000 км, расстояние l   от Земли до Луны — 380 000 км,   диаметр Солнца D = 1 390 000 км, диаметр Луны  d = 3480 км. Подставив данные числа в равенство, получим, что и .   Это означает, что при данных расстояниях и диаметрах Луна и Солнце имеют практически одинаковые угловые размеры. Поэтому в момент полного солнечного затмения видно, как диск Луны точно закрывает собой диск Солнца.

Обнаруженная зависимость может быть исполь­зована в тех случаях, когда требуется найти недоступные для непосредственного измерения расстояния или размеры предмета.

Ознакомившись с понятием тангенса угла, мы сможем вычислять угол зрения. Например, нам надо вычислить углы зрения, под которым мы видим буквы в своем учебнике. Высота буквы равна 2,5 мм, расстояние от глаза до книги – 20 см.

         Приведем решение задачи.  Пусть направление взгляда строго перпендикулярно странице учебника, О – центр глаза, ОА – расстояние от глаза до книги, АВ – высота буквы. Тогда  - это искомый угол зрения. Из прямоугольного треугольника АВО по определению тангенса угла , откуда

Получился угол менее 1°! А ведь глаз человека может различать объекты и меньшего размера (причем на большем расстоянии). Очевидно, существует предельный угол зрения, под которым глаз еще способен различить две точки по отдельности. Этот предельный угол необходим для оценки остроты зрения. Остротой зрения принято характеризовать способность глаза различать предметы небольших размеров. Чем больше предельный угол зрения для глаза, тем ниже острота зрения человека.

Для людей с нормальным зрением величина предельного угла зрения приблизительно равна 1`.

В медицинской практике остроту зрения проверяют по специальной таблице, которая содержит строчки букв разного размера. Острота зрения определяется по наименьшей строке, которую полностью правильно читает пациент. Такое исследование проводится для каждого глаза отдельно, так как у правого и у левого глаза этот показатель может несколько отличаться. Однако остроту своего зрения приблизительно можно узнать и без специального оборудования.

          Итак, углом зрения называется угол с вершиной в оптическом центре глаза, под которым виден наблюдаемый предмет. Иначе говоря, это угол, об­разованный лучами зрения, касающимися край­них точек предмета. Как правило, край­ние точки предмета — это концы отрезка, являю­щегося его высотой. Если лучи зрения проходят через произвольные точки предмета, мы видим лишь его часть, заключенную между ними. Как и другие плоские углы, угол зрения измеряют в гра­дусах, минутах и секундах, реже — в радианах (обычно, когда рассматривают малые углы).

Следует отметить, что большая часть зрительной инфор­мации, поступающей в неподвижный глаз, сосредоточена в простран­ственном угле ясного зрения. По вертикали ему соот­ветствует плоский угол, оценивающийся в 28—30°.

По отношению к наблюдаемому предмету упо­требляют также термин угловой размер. Например, фраза «Угловой размер Луны — 0,5°» означает, что под таким углом земной наблюдатель видит лун­ный диск.

Таким образом, при взаимодействии человека с окружающим миром можно наблюдать явления и процессы, связанные с математикой, а понятие угла зрения часто используется при объяснении этих явлений и процессов.